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FRM 市场风险

2648 字约 9 分钟

2026-05-20

包含了3个部分

Market Risk Analysis

1. 测量市场风险的方式：参数（通过计算）和非参数（没有通过计算，查数字）计算VAR

Parametric approach

  • Normal VAR
    • assume that arithmetic returns are normally distributed with mean μ and standard deviation σ 假设算数收益率服从正态分布（Rt~normal）
    • R=Pt−Pt−1Pt−1R=\frac {P_t-P_{t-1}}{P_{t-1}}
    • VaR(p)=−μR+σR∗zαVaR(p) = -\mu_R+\sigma_R*z_\alpha
    • Var值表示损失，所以是-（μ-zσ）
  • Lognormal VAR
    • r=lnPtPt−1r = ln\frac{P_t}{P_{t-1}}
    • Asset prices that follow a lognormal distribution
    • VaR(α)=Pt−1∗(1−eμR−σR∗zα)VaR(\alpha) = P_{t-1}*(1-e^{\mu_R-\sigma_R*z_\alpha})
  • QQ plot: 判断散点的形状

Non-Parametric approach

  • Historical Simulation

    • 将数据排序
    • 查找对应损失比例的数字
    • 无法解决一旦寻找的数字比较精确的问题：92.7%损失的数字

  • Non-parametric density estimation

    • 假设变化是线性的
    • 用左右两边的损失数字进行计算

  • Var值的缺点：

    • 不能衡量尾部损失
    • 不满足次可加性（组合的风险应该小于各种资产的风险的和）

      • 某些情况下可能会满足，但是也有可能不满足

        VaR(p)=VaR12+VaR22+2ρVar1Var2VaR(p) = \sqrt{VaR_1^2+VaR_2^2+2\rho Var_1 Var_2}

  • Conditional VAR(expected shortfall) ES

    • 超过VAR值损失的平均值
    • 市场风险中是用置信水平乘以样本容量计算VaR
    • 先找VaR值，再计算ES
      • VaR值用置信水平乘以样本容量（如100个数据，90% confident level就是100*90%）

  • 非参数法优势

    • 方式上直观，简介（收集数据，查数）
    • 不依赖参数假设 Do not depend on parametric assumptions
    • 可以处理做多做空的数据 Accommodate any type of position
    • 不需要协方差矩阵，没有curses of dimensionality
    • 数据是容易得到的（因为参数法对数据要求高，需要服从分布）
    • 可以加入参数法的元素使得结果更加提升

  • 劣势

    • 依赖于历史数据（历史会重演）
    • Ghost effect（突然出现，突然消失）Var值有可能忽然上升或者下降，对于市场有滞后性

Hybrid approach(Semi-Parametric approach) 混合法：非参数法基础上加入了参数法

  • Age-weighted(BRW) *计算
    • 对过去的损失赋予权重，过去的时间越长，影响会越小
    • BRW改变数据的权重，但是不改变数据本身的大小
    • wn=λ×wn−1w_n =\lambda \times w_{n-1} ; wn=λn−1×w1w_n =\lambda^{n-1} \times w_{1} 把权重最加总，和应该是1 （权重总和肯定得是100%）
    • 由此可得权重计算公式：wi=λi−1(1−λ)1−λnw_i = \frac{\lambda^{i-1}(1-\lambda)}{1-\lambda^n} i 是第几天的权重，n是样本容量
    • 计算每一个数据的权重
    • Advantage:
      • 是对历史模拟法的拓展，lambda趋向于1会趋向于历史模拟法
      • Reduce Ghost Effects （如果数据发生的时间久，就会退出）这样可以反应当前市场状况
  • Volatility-weighted(HW) *计算
    • 数据权重不动，数据大小改变。adjust the historical returns to reflect how volatility tomorrow is believed to have changed from its past values.
    • rt,i∗rt,i=σt,i∗σt,i\frac{r^*_{t,i}}{r_{t,i}} = \frac{\sigma^*_{t,i}}{\sigma_{t,i}}
    • 收益率是不能比较的，因为没有考虑到当天的收益率对应的风险是多少
    • 波动率的大小是会影响收益率的多少的
    • 公式的意义是把过去的收益率映射到今天换算到当天的波动率的情况（在今天这种波动率下，当时的收益率应该是多少）
    • 把所有的数据都要调整一遍，按照大小重新排序
    • 这种方法算出来是很有可能超过历史模拟法和BRW的
  • Correlation-weighted *基于HW思想
    • BRW的进阶，调整数据。不仅调整波动率的影响，还考虑相关系数影响
  • Filtered historical simulation *基于HW思想
    • 考虑了不对称性 AGARCH
    • 用来GARCH模型
      • σn2=w+αμn−12+βσn−12\sigma_n^2 = w + \alpha \mu_{n-1}^2 + \beta \sigma_{n-1}^2

Extreme Value极值理论

  • 可以用在任何风险中

  • Generalized Extreme-Value Theory (Block Maxima) 选择极致的方式

    • 区域中间选择最大的极端值
    • 参数（CDF)
      • μ: location parameter: measure of central tendency
      • σ: scale parameter: measure of dispersion
      • ξ: tail index: for financial returns (heavy-tailed)

  • POT (peeks-Over-Threshold) 选择数据的方式

    • 选定一个门槛，超过门槛算极端值

    • 参数：

      • β: scale parameter
      • ξ: index parameter

    • expected shortfall using POT

      原始笔记这里引用了市场风险示意图，但图片文件没有随 organise 一起提供；后续可补 VaR 计算方法对比图。

  • 两种方式的比较

    • both are different manifestations of the same underlying EV theory表现一样，搜集方式不一样
    • POT model exceedances over a high threshold while GEV theory model the maxima of a large sample POT是高门槛，GEV是部分最大
    • POT require fewer parameters. POT需要两个，GEV是三个
    • The Block maxima approach can involve some loss of useful data, because some blocks might have more than one extreme in them。 GEV会丢失一些有用的数据
    • POT requires us to grapple with the problem of choosing the threshold。 POT选择的时候会不好选门槛，高了准确，但是没有足够的数据。

2. 回测VAR（backtesting）

假设检验，检验算出来的VaR值是否正确。已知VAR

  • Model Verification
    • failure rate: 超过VAR的比例
    • exceptions x 服从binomial probability distribution
  • H0：VAR is true Ha: VaR is False
    • 假设VaR是对的
    • 双尾的，可能比Var大，也可能小
    • 计算检验统计量: Z= (x-μ)/σ
    • 查找关键值：如99%置信水平下的关键值（双尾：2.58）
    • 检验统计量和查表查出来的关键值作比较
      • 算出来的更大，落在了拒绝域里面，拒绝原假设，Var是错的
  • Type 1 and Type 2 error
    • 弃真，存伪
    • P(H0是对的但是拒绝了），P(没有拒绝H0当H0是错的）
  • Kupiec VaR Backtest
    • 考虑肥尾
  • Christofferson VaR Backtest
    • 加入了两个时间的因素做考量
  • Conclusion:
    • power of test体现假设检验的价值。当他是错的时候给他拒绝掉
    • 两种方式提高power of test
      • 降低置信水平
        • 一类错误高，二类错误低，power of test高
      • 提高样本容量
        • 一类错误低，二类错误低，power of test高
    • Holding period, 生成一个数据所需要的时间
  • Basel Committee Rules for Backtesting

    • Economic capital = VaR x (3+K)

    • VaR低了，exception会高，K是惩罚因子

      • 对应表格查找k值

        原始笔记这里引用了 VaR mapping 示意图，但图片文件没有随 organise 一起提供；后续可补映射流程图。

    • The Basel Committee requires that market VaR be calculated at the 99% confidence level and back testing over the past year.

    • 巴塞尔一（信用风险，后面加入市场风险）巴塞尔2（信用风险，2.5修改了市场风险）巴塞尔3（FRTB基于ES而不是VaR，加入了资本充足率）

    • 4种类型k异常值 penalty should apply.

      • 模型有问题，Basic integrity of model
      • 模型的精准度不够，四舍五入太多。Model accuracy needs improvement
      • 日间交易数据：Intraday trading 容易造成exception过大，不一定会罚，要考虑
      • 运气太差：Bad Luck。本来可能是对的，但是市场突发情况出现了。这个时候需要调整

3. VAR mapping

处理资产非常多的时候的情况

  • 把所有的资产分解成几个影响因子

  • 只需要考虑几个因子的相关系数

  • Mapping linear Derivatives

    • Currency Forward contracts外汇远期
    • Forward Rate Agreements
      • Long 6 * 12 FRA = long 6 month Bill + short 12 month bill
    • Interest Rate Swaps
      • A payer swap is equivalent to buying a floating rate bond and simultaneously shorting a fixed rate bond
    • BSM model

  • 3 approach for mapping

    1. Principle mapping
      1. 过程，本金映射，找到portfolio本金的平均到期时间（加权）
      2. 找到porfolio对应的Var值
        1. VaRp=D∗×Var(riskfactor)×NPVaR_p = D^* \times Var(risk factor) \times NP
        2. 找到组合的本金对应的到期时间，用一个相同到期时间的债券来代替
    2. Duration mapping
      1. 找到portfolio对应的duriation（考虑coupon和principle）
      2. Mac.Duration 考虑了coupon的平均到期时间，以折现现金流为权重，现金的平均回流时间
      3. 有时候找不到对应duration的年限的债券 （2.733年）这时候用线性插值法
    3. Cash Flow mapping
      1. 找到每个时间点对应的现金流。进行映射
      2. 每一个时点： 年数xVar(n年的)x收益折现
      3. 没有考虑相关系数：undiversified VaR
      4. 考虑每年VaR利率相关性就是 diversified VaR
      5. VaR(undiversified) > VaR(diversified)

4. Academic Literature on Risk Measurement

VaR implementation

  • 银行中实施VaR的时候可能会遇到的问题
    1. time horizon over which VaR is estimated
    2. the recognition of time-varying volatility in VaR risk factors.
    3. VaR backtesting
      1. 置信水平大的时候显著性水平低，这样样本数量就少

Risk measure

  • Value at Risk
    • 只能衡量对应点的损失，尾部损失不关注
    • 不满足次可加性
  • Expected Shortfall (ES)
    • 超过的平均值
    • 一定满足 subaddictive次可加性和coherent
    • 一个数据相对影响较小
  • Spectral risk measure普风险度量
  • 一致性风险度量

Integrated Risk Measurement

  • Compartmentalized approach分区化
  • Unified approach 统一化的标准

FRTB

  • 针对巴塞尔协议3的修正
  • FRTB针对market risk capital 如何去计算
  • 银行应该放弃99%VaR和99%stress Var，应该使用97.5% ES
  • Two approaches to calculate ES
    • internal models based approach (IMA)
    • Revised standardized approach
  • Liquidity Horizons
    • FRTB requires the changes to market variables
    • Five different liquidity horizons are: 10, 20, 40, 60 ,120 Days
  • 针对信用风险（credit Spread）
    • Credit spread Risk
    • Jump-to-default Risk

Correlation Risk

1. Correlation 风险模型和管理之间的关系

correlation Swap（相关系数互换）

  • 买correlation swap 付出固定相关系数，收回浮动的
  • payoff = NP x ( realized ρ - fixed ρ）

    • 超过两个相关系数的计算

      ρrealised=2n2−nΣρi,j\rho_{realised} = \frac{2}{n^2-n}\Sigma\rho_{i,j}

    • Failure 1: 赌错金融危机发生时间 2005年实施，实际发生事2007年

      • sell CDS on equity tranche
      • buy CDS on mezzanine tranche
      • when the correlations of the assets in the CDO decreased, the hedge funds lost on both positions.

    • Failure 2： loss from the default on equity tranche低估了危机的影响力。危机发生equity都倒闭

    • Failure 3: Loss from senior tranche

    • Failure 4: Loss from greed - CDS can also be used as speculative instruments.可以买入投机

  • Correlation Risk and other Risks
    • Default correlation within sectors is higher than between sectors. 行业间的相关性会更大
    • Time dependency of credit risk.
    • Systemic risk and correlation risk are highly dependent, but not significant.
  • Copulas
    • Copula functions are designed to simplify statistical problems. They allow the joining of multiple univariate distributions to a single multivariate distribution.

2. Financial Correlation Modeling

Term Structures and Volatility

1. Empirical Approaches to Risk Metrics and Hedging

  • Regression Hedge
    • Δy=α+βΔyt+ϵt\Delta y = \alpha+\beta\Delta y_t + \epsilon_t
    • Least-squares estimation

2. Term structure models

  • BSM 模型不能使用
    • 要求随机波动服从正态分布。
    • 债券有到期时间，股票没有，coverge to face value at maturity
  • Jesen’s Inequality
    • Convexity Effect突性效应: 两张债券的价格差异
    • E(11+r)>1E(1+r)E(\frac{1}{1+r}) > \frac{1}{E(1+r)}

3. Shape of the Term Structure

4. Volatility Smile

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